В русском языке такие имя и фамилия склоняются.
Во избежание двусмысленности лучше сказать: в магазине "Солнечный рай".
Можно использовать кавычки, читателю в этом случае будет легче воспринимать текст.
Запятая поставлена правильно.
Правильно.
Нужно поставить только точку в конце предложения.